Ch2 - 量子力学入门

电磁波与光子

光的不相符实验

$PM_t$ $PM_r$ 中间每次只有其中一个，而不是同时两个，探测到光子到达。（光的粒子性）

单光子的杨氏干涉实验

表现了几个光子之间存在某种“相互作用”。（光的波动性）

单光子的广角度干涉实验

光的波粒二象性光子的波函数

$p\propto |\vec E|^2$ .
光的粒子性：光以光子的形式产生，光是由光子组成的能量流，光作为光子在探测器中被吸收。可以测量光子的能量，动量，角动量。

波函数, 概率幅与概率

用概率波来描述光子的状态, 波函数是概率波的数学表达, 其物理意义是概率幅. 以位置为变量的波函数就是位置概率幅.
$E(x,t)$ 是复变函数, 检测到光子的概率正比于波函数模的平方.
相应于平面简谐波的光子的波函数：
$E (x, t) = e^{i (k x - ω t)}$

波函数的乘积与叠加

波函数的乘积: 如果一个事件的发生过程可以看成是 分几步发生, 比如光的不相符实验中光子先从光源到达分光器, 再从分光器到达光电倍增管, 则波函数应该是每一步对应的波函数的乘积.

波函数的叠加性: 如果一个事件的发生是可以 通过多种途径发生, 比如双缝实验中测量光子出现在某个位置, 则波函数应该是所有可能途径的波函数的叠加：

实物粒子与物质波

德布罗意的物质波假说

爱因斯坦提出的光子的能量和频率之间的关系式对电子那样的物质粒子依然成立，称为德布罗意关系：

E = h ν, p = \frac{h}{λ}

例题 $\lambda_c=h/m_0 c$ 的一半，它的质量与其静止质量之比为多少？

λ = \frac{h}{p} = \frac{1}{2} \frac{h}{m_{0} c}

$p=2m_0 c$ ，可得：

\frac{m}{m_{0}} = \frac{\sqrt{(m_{0} c^{2})^{2} + c^{2} p^{2}}}{m_{0} c^{2}} = \sqrt{5}

德布罗意关系的合理性

符合洛伦兹变换的对称性；
电子的群速的和电子的运动速度是一致的；
满足驻波条件。
满足原子内电子轨道的量子化条件：
$\begin{matrix} 2 π r = n λ, n = 1, 2, \dots \\ \Rightarrow L = m v r = p r = \frac{h}{λ} \frac{1}{2 π} n λ = n ℏ \\ L = n ℏ \end{matrix}$

物质波假说的实验验证

戴维孙-革末实验
$U$ 加速的电子（在非相对论条件下），它的德布罗意波长：
$λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m e U}}$
当考虑相对论效应，可得：
$λ = \frac{h}{\sqrt{2 m_{e} E}} = \frac{h}{\sqrt{2 m e U + \frac{e^{2}}{c^{2}} U^{2}}}$
电子衍射-布拉格公式

实物粒子的波粒两象性

电子的双缝实验

实物粒子的粒子性方面和波动性方面是不可分割的, 它同时表现为波和粒子流，波可以用来计算粒子出现的概率.
对实物粒子行为的预言只能是概率性的.
$\psi(\vec r,t)$ .

类比具有确定频率的光子, 具有确定动量与能量的自由粒子的波函数为平面波

ψ (x, t) = A e^{i (k x - ω t)}

德布罗意关系：

\begin{matrix} k = \frac{2 π}{λ} \Rightarrow p = \frac{h}{λ} = ℏ k \\ E = h ν = ℏ ω \end{matrix}

$p$ $E$ 的自由粒子的波函数：

ψ (x, t) = A e^{\frac{i}{ℏ} (p x - E t)}

波函数

玻恩的统计诠释

$\psi(x)$ 概率振幅 $\psi(x)$ 。

$[x,x+\mathrm d x]$ 区间的概率
$d P = | ψ (x) |^{2} d x$
位置概率密度：
$ρ (x) = | ψ (x) |^{2} = ψ^{*} (x) ψ (x)$
$[a,b]$ 的概率：
$P_{a b} = \int_{a}^{b} ρ (x) d x$

波函数满足的条件

有限性 $[a,b]$ 内平方可积
$\int_{a}^{b} | ψ (x) |^{2} d x < \infty$
连续性: 波函数及其导数在空间各处连续
单值性：只有一个函数值和变量对应。
归一化条件。

例题：归一化

\begin{matrix} Ψ (x) = {\begin{cases} N x (1 - x), & 0 < x < L \\ 0, & x \leq 0, x \geq L \end{cases} \Rightarrow N = \sqrt{\frac{30}{L^{5}}} \end{matrix}

薛定谔方程

含时的薛定谔方程：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t}

$𝑉(𝑥, 𝑡)$ ，则：

E = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x, t)

一维情况：
$[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x, t)] ψ (x, t) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (x, t)$
三维情况：
$[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (\vec{r}, t)] ψ (\vec{r}, t) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (\vec{r}, t)$

$\nabla^2$ 是拉普拉斯算子：
$\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$

定态薛定谔方程

$V(\vec{r})$ $\Psi(\vec r, t)=\psi(\vec r) T(t)$ ，可得：

i ℏ \frac{d T (t)}{d t} = E T (t)

其中解得时间振动因子：

T (t) \propto e^{- \frac{i}{ℏ} E t}

——只和时间、能量有关。

定态薛定谔方程：

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + V (x)] ψ (x) = E ψ (x)

$E$ $V(x)$ $\psi(x)$ $t$ 无关。

$\Psi(\vec r,t)$ 满足：

Ψ (\vec{r}, t) = ψ (\vec{r}) e^{- \frac{i}{ℏ} E t}

定态下的位置密度函数不随时间变化
$| Ψ (\vec{r}, t) |^{2} = {| ψ (\vec{r}) e^{- \frac{i}{ℏ} E t} |}^{2} = | ψ (\vec{r}) |^{2}$
定态下测量位置, 动量, 角动量等可观测量的概率分布, 包括期待值与标准差都不随时间变化.

含时薛定谔方程的一般解是定态波函数的叠加：

Ψ (x, t) = \sum_{E} C_{E} Ψ_{E} (\vec{r}, t) = \sum_{E} C_{E} ψ_{E} (\vec{r}) e^{- \frac{i}{ℏ} E t}

$E$ $C_E$ 为叠加系数，为常复数。

概率流密度 $\vec{\jmath}$ 为粒子单位时间内通过单位面积的概率，

\begin{matrix} \vec{ȷ} = - \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}) \\ \nabla \cdot \vec{ȷ} = - \frac{\partial ρ}{\partial t} \\ \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{ȷ} = 0 \end{matrix}

与电荷守恒的微分形式类比, 上式为概率守恒 (粒子数守恒) 的微分形式.

概率守恒 (粒子数守恒)

$S$ ，曲面内的粒子数目的减少的速率等于由内向外通过曲面的速率．

∭_{Ω} \frac{\partial ρ}{\partial t} d V = - ∭_{Ω} (\nabla \cdot \vec{ȷ}) d V = - \oint_{S} \vec{ȷ} \cdot d S

例题：求以下一维平面波的概率流密度

ψ = A e^{\frac{i}{ℏ} (p x - E t)}

解得：

j = - \frac{i ℏ}{2 m} (ψ^{*} \frac{\partial ψ}{\partial x} - ψ \frac{\partial ψ^{*}}{\partial x}) = - \frac{i ℏ}{2 m} \cdot 2 | A |^{2} \frac{i}{ℏ} p = | A |^{2} \frac{p}{m}

位置与动量的期待值

位置的期待值与不确定度

根据波函数的定义，

\begin{matrix} ⟨ x ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} x | ψ (x) |^{2} d x \\ ⟨ f (x) ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) | ψ (x) |^{2} d x \end{matrix}

$\sigma_x$ $\Delta x$ ）

σ_{x} = \sqrt{⟨ x^{2} ⟩ - ⟨ x ⟩^{2}}

动量的期待值与不确定度

根据 Ehrenfest 定理：量子力学在适当的极限情况下应与经典物理相符, 所以应该有

⟨ p ⟩ = m \frac{d ⟨ x ⟩}{d t}

根据薛定谔方程，

\begin{aligned} \frac{d ⟨ x ⟩}{d t} & = \frac{d}{d t} \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} x ψ d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\partial ψ^{*}}{\partial t} x ψ d x + \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} x \frac{\partial ψ}{\partial t} d x \\ = - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{i ℏ}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ^{*} x ψ d x - \int_{- \infty}^{\infty} \frac{i ℏ}{2 m} ψ^{*} x \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ d x \\ = \frac{1}{m} \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (- i ℏ) \frac{\partial}{\partial x} ψ d x \end{aligned}

可得：

⟨ p ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}) ψ d x

$f(p)$ 的期待值
$⟨ f (p) ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} f (- i ℏ \frac{\partial}{\partial x}) ψ d x$
动量平方的期待值
$⟨ p^{2} ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} (x, t) (- ℏ^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}) ψ (x, t) d x$
动量的不确定度 (标准差)
$σ_{p} = \sqrt{⟨ p^{2} ⟩ - ⟨ p ⟩^{2}}$
$\langle x\rangle,\sigma_{x},\langle p\rangle,\sigma_{p}$ 都不随时间变化。

位置算符与动量算符

⟨ A ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \hat{A} ψ d x

$\boldsymbol{\hat x}$ ：

\hat{x} ψ (x) = x ψ (x)

$\boldsymbol{\hat p}$ ：

\hat{p} ψ (x) = - i ℏ \frac{\partial ψ (x)}{\partial x}

矢量算符的定义

$\hat A$ $f(\hat A)$ 称为 算符函数：

f (\hat{A}) = f (0) + \frac{f^{'}}{1!} \hat{A} + \frac{f^{''}}{2!} {\hat{A}}^{2} + \dots + \frac{f^{(n)}}{n!} {\hat{A}}^{n}

$f(x)$ 是多项式函数，情况简单一些，例如：

$\hat{x}^{2}\psi(x)=x^{2}\psi(x)$ ；
$\displaystyle \hat{p}^{2}\psi(x)=-\hbar^{2}\frac{\partial ^{2}}{\partial x^{2}}\psi(x)$ .

$\displaystyle E_k = \frac{p^2}{2m}$ ， $\boldsymbol{\hat K}$ ，

\hat{K} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m}

\hat{K} ψ (x) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} ψ (x)

$V(x)$ ， $\boldsymbol{\hat V}$ ，

\hat{V} ψ (x) = V (x) ψ (x)

$\boldsymbol{\hat H}$

\hat{H} = \hat{K} + \hat{V}

$\boldsymbol{E}$

E = i ℏ \frac{\partial}{\partial t}

薛定谔方程可以表示为：

\hat{H} ψ (x) = E ψ (x)

$\psi(x)$ $\hat H$ $E$ $\hat H$ 的本征值。

$\hat H$ 的本征值只允许取某些分立的值。

可得，能量的期待值：

⟨ E ⟩ = \int_{- \infty}^{\infty} ψ^{*} \hat{H} ψ d x

时间演化算符

$\Psi$ 随时间变化的规律满足薛定谔方程：

i ℏ \frac{\partial Ψ}{\partial t} = \hat{H} Ψ (t)

$\hat U(t)$ ，使得

Ψ (t) = \hat{U} (t) Ψ (0)

因此，有；

i ℏ \frac{\partial \hat{U} (t)}{\partial t} Ψ (0) = \hat{H} \hat{U} (t) Ψ (0)

满足

\hat{U} (t) = e^{- \frac{i}{ℏ} t \hat{H}}

$E$ ，时间演化算符为

e^{- \frac{i t}{ℏ} E}

位移算符

e^{- a \frac{\partial}{\partial x}}

$\psi(x)$ 后，可得（用泰勒展开）

e^{- a \frac{\partial}{\partial x}} ψ (x) = ψ (x + a)

一维定态问题

无限深势阱

\begin{matrix} V (x) = {\begin{matrix} 0 & x \in [0, L] \\ + \infty & 其他 \end{matrix} \end{matrix}

求解波函数的一般步骤：
列定态薛定谔方程；
将方程化为微分方程形式，求解微分方程；
通过波函数的性质（连续性、归一化条件）确定微分方程中的参数。

在势阱外，定态薛定谔方程为
$(- \frac{ℏ^{2} d^{2}}{2 m d x^{2}} + \infty) ψ (x) = E ψ (x)$
使得薛定谔方程成立
$ψ_{e} (x) = 0$
没有粒子存在。
在势阱内，定态薛定谔方程
$- \frac{ℏ^{2} d^{2}}{2 m d x^{2}} ψ (x) = E ψ (x)$
${\color{red}\displaystyle k^2= \frac{2mE}{\hbar^2}}$ ，可得：
$\frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + k^{2} ψ = 0$
方程的一般解写为
$ψ (x) = A \sin (k x + δ)$
$A,\delta$ $k$ ，需要利用波函数的 连续性条件：
$\begin{matrix} ψ (0) = ψ_{e} (0) = 0 \\ ψ (L) = ψ_{e} (L) = 0 \end{matrix}$ $\begin{aligned} \Rightarrow A \sin δ = 0 \Rightarrow δ = 0 \\ \Rightarrow A \sin k L = 0 \Rightarrow k L = n π \end{aligned}$ $ψ = A \sin \frac{n π}{L} x$
归一化：
$\int_{- \infty}^{+ \infty} | ψ (x) |^{2} d x = 1 \Rightarrow A = \sqrt{\frac{2}{L}}$

\begin{matrix} \begin{array}{r} ψ (x) = {\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \frac{n π x}{L} & x \in [0, L] \\ 0 & 其他 \end{cases} \end{array} \end{matrix}

无限深势阱的能量

通过标红的两式，可得能量本征值为：

E_{n} = \frac{k^{2} ℏ^{2}}{2 m} = \frac{n^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}

$n=1,2,\cdots$ ，称为 量子数。

E_{1} = \frac{π^{2} ℏ^{2}}{2 m L^{2}}, E_{n} = n^{2} E_{1}

$E_1>0$ ，又称为零点能，说明粒子不是经典的粒子，不可能静止。

一维束缚态的一般性质

能量值分立，可由量子数表征。
$E_{基态}$ , 即零点能，与经典粒子不同。且 $L$ 越小，基态能量越高.
能量越高，对应的定态波函数在空间上振荡越快
除去两个端点，基态波函数无节点，第一激发态有一个节点 ⋯

有限深势阱

有限深势阱的势能：

\begin{matrix} V (x) = {\begin{matrix} V_{0} & | x | > a \\ 0 & | x | < a \end{matrix} \end{matrix}

所以：

{\begin{cases} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{2 m E}{ℏ^{2}} ψ = 0, & | x | < a \\ \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} (E - V_{0}) ψ = 0, & | x | > a \end{cases}

$\displaystyle k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},k'^2=\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}$ .

则：

\begin{matrix} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + k^{2} ψ = 0 | x | < a \\ \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} - k^{' 2} ψ = 0 | x | > a \end{matrix}

解为：

\begin{matrix} ψ = A \sin (k x + δ) ∣ x ∣< a \\ ψ = B e^{- k^{'} x} + C e^{k^{'} x} ∣ x ∣> a \end{matrix}

$A,B,C,\delta$ 为待定常数。

$|x|\to \infin$ $|x|>a$ 的解可以分成：

\begin{matrix} ψ = B e^{- k^{'} x} x > a \\ ψ = C e^{k^{'} x} x < - a \end{matrix}

$\psi(x)$ 连续，可得：

$x=a$ 处：
$\begin{aligned} A \sin (k a + δ) = B e^{- k^{'} a} \\ k A \cos (k a + δ) = - k^{'} B e^{- k^{'} a} \end{aligned}$
$\boxed{k\cot(ka+\delta)=-k'}$ .
$x=-a$ 处：
$\begin{aligned} A \sin (- k a + δ) = C e^{- k^{'} a} \\ k A \cos (- k a + δ) = k^{'} C e^{- k^{'} a} \end{aligned}$
$\boxed{k\cot (-ka+\delta)=k'}$ .

$k,k',a$ $\delta$ 求出。

$\cot (ka+\delta)=-\cot (-ka+\delta)$ $\delta$ 有两组解

\begin{matrix} δ = {\begin{cases} n π \\ (n + \frac{1}{2}) π \end{cases}, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \end{matrix}

$n=0$ $\delta=0$ $\pi/2$ .

$\delta=0$ 时，

\begin{matrix} ψ = {\begin{cases} A \sin k x & ∣ x ∣< a \\ B e^{- k^{'} x} & x > a \\ C e^{k^{'} x} & x < - a \end{cases} \end{matrix}

$x=a$ $A\sin (ka)=Be^{-k'a}$ .
$x=-a$ $A\sin (-ka)=Ce^{-k'a}$ .

$B=-C$ ，因此

\begin{matrix} ψ_{A} = {\begin{cases} A \sin k x & | x | < a \\ B e^{- k \cdot x} & x > a \\ - B e^{k \cdot x} & x < - a \end{cases} \end{matrix}

奇宇称反对称波函数，关于原点反对称。

$\delta=\frac{\pi}{2}$ 时，

\begin{matrix} ψ_{S} = {\begin{cases} A \cos k x & | x | < a \\ B e^{- k^{'} x} & x > a \\ B e^{k^{'} x} & x < - a \end{cases} \end{matrix}

偶宇称对称波函数，关于原点对称。

$A,B$ 可由连接条件以及波函数归一化条件定出

练习题 $m$ $U(x)=\begin{cases}\quad\infty,x<0\\0,0\leq x<a\\\quad U_0,x>a\end{cases}$ $0<E<U_0$ 时三个区域定态薛定谔方程及边界条件。

薛定谔方程：

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} ψ + U (x) ψ = E ψ

依此代入即可。

边界条件：

$\psi_1(x=0)=\psi_2(x=0)=0$ $1$ 区域不会有粒子，所以波函数连续 = 0。
$\psi_2(x=a)=\psi_3(x=3)$ ，波函数连续。
$\psi_2'(x=a)=\psi_3'(x=a)$ .

一维谐振子

哈密顿算符：

\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}

定态薛定谔方程：

(- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2}}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}) ψ (x) = E ψ (x)

引入无量纲量

ξ = α x, α = \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}}, λ = \frac{E}{\frac{1}{2} ℏ ω}

则：

\frac{d^{2} ψ}{d ξ^{2}} + (λ - ξ^{2}) ψ = 0

$\xi \to \pm \infin$ $x\to \pm \infin$ 时）

\frac{d^{2} ψ}{d ξ^{2}} - ξ^{2} ψ = 0

渐进解：

ψ \sim e^{\pm \frac{1}{2} ξ^{2}}

满足物理边界条件（平方可积）的解：

ψ \sim e^{- \frac{1}{2} ξ^{2}}

$\psi=e^{-\frac{1}{2}\xi^2} u(\xi)$ . 代入定态薛定谔方程有：

\frac{d^{2} u}{d ξ^{2}} - 2 ξ \frac{d u}{d ξ} + (λ - 1) u = 0

设（待定系数法）：

\begin{aligned} u (ξ) = \sum_{k = 0}^{\infty} c_{k} ξ^{k} \end{aligned}

可得：

c_{j + 2} = \frac{2 j - (λ - 1)}{(j + 2) (j + 1)} c_{j}, j = 0, 1, 2, \dots

即系数递推关系式.

${c_0}$ $c_{1}$ $c_1,c_0$ 任意。

因此，方程有二个线性无关的解

u_{1} (ξ) = c_{0} + c_{2} ξ^{2} + c_{4} ξ^{4} + \dots

u_{2} (ξ) = c_{1} ξ + c_{3} ξ^{3} + c_{5} ξ^{5} + \dots

$\xi$ $|\xi| \to \infin$ 时是否收敛？

如果级数无限，

$j$ $u_1(\xi) \to e^{\xi^2}$ ；
$j$ $u_2(\xi)\to \xi e^{\xi^2}$ .

$\psi=e^{-\frac{1}{2}\xi^2} u(\xi)$ $\xi \to \infin$ $\psi$ 发散。

$\xi$ 满足束缚态条件，则级数必须截断为多项式。根据

c_{j + 2} = \frac{2 j - (λ - 1)}{(j + 2) (j + 1)} c_{j}, j = 0, 1, 2, \dots

$\lambda=2n(n=0,1,2,\cdots)$ $c_{n+2},c_{n+4},c_{n+6},\cdots$ $n$ 奇偶性）

$n$ $u_1(\xi)$ 截断为多项式；波函数 偶宇称。
$n$ $u_2(\xi)$ 截断为多项式。波函数 奇宇称。

$\boxed{\displaystyle E=\frac{1}{2}\lambda \hbar \omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar \omega}$ . 可得：

λ = \frac{E}{\frac{1}{2} ℏ ω}

对应能量本征函数：

ψ_{n} (x) = N_{n} H_{n} (ξ) e^{- \frac{1}{2} ξ^{2}}

归一化后：

ψ_{n} (x) = {(\frac{m ω}{π ℏ})}^{\frac{1}{4}} \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} H_{n} (ξ) e^{- \frac{1}{2} ξ^{2}}

$H_n(\xi)$ 为厄米 (Hermite) 多项式。

满足的性质：

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}H_{n}(\xi)H_{m}(\xi)e^{-\xi^{2}}d\xi=\sqrt{\pi}2^{n}n!\delta_{mn}$ .
$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\psi_{n}^{*}(\xi)\psi_{m}(\xi)dx=\delta_{mn}$ .
$x$ $\displaystyle \psi\approx e^{-\alpha^2 x^2/2},\alpha=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}$ .

$\displaystyle \alpha=\sqrt \frac{m\omega}{\hbar}$ $\psi_{0,1,2}(x)$ 可以表示为：

\begin{matrix} ψ_{0} (x) = {(\frac{α}{\sqrt{π}})}^{1 / 2} e^{- \frac{1}{2} α^{2} x^{2}} \\ ψ_{1} (x) = {(\frac{α}{2 \sqrt{π}})}^{1 / 2} 2 (α x)^{2} e^{- \frac{1}{2} α^{2} x^{2}} \\ ψ_{2} (x) = {(\frac{α}{8 \sqrt{π}})}^{1 / 2} [2 - 4 (α x)^{2}] e^{- \frac{1}{2} α^{2} x^{2}} \end{matrix}

例题当谐振子处于基态时，在经典物理不允许存在的范围内测量到粒子的概率是多大？

经典物理只能允许势能小于等于总能量：

V (x_{0}) = \frac{1}{2} m ω^{2} x_{0}^{2} = E = \frac{1}{2} ℏ ω

例题求一维谐振子势能的平均值和动能的平均值。

$\left\langle T\right\rangle=\left\langle U\right\rangle=\frac{1}{2}\left\langle E\right\rangle$ .

例题

定义：升降算符
$\hat Q$ $\hat Q_{+}$ $[\hat Q,\hat Q_{+}]=h\hat Q_{+}$ $h$ $\hat Q$ 对应的升算符。
$\hat Q_{-}$ $[\hat Q,\hat Q_{-}]=-h\hat Q_{-}$ 成立，这个算符就是对应的降算符。
$\hat Q$ $Q$ 对应的本征值变为更大/更小
证明如下：
$\begin{aligned} \hat{Q} ({\hat{Q}}_{\pm} ψ) & = [\hat{Q}, {\hat{Q}}_{\pm}] ψ + {\hat{Q}}_{\pm} \hat{Q} ψ \\ = \pm h {\hat{Q}}_{\pm} ψ + λ {\hat{Q}}_{\pm} ψ \\ = (λ \pm h) ({\hat{Q}}_{\pm} ψ) \end{aligned}$
产生算符和消灭算符
$\hat a,\hat a^\dagger$ 满足下列对易式：
$[\hat{a}, {\hat{a}}^{†}] = \hat{I}$
$\hat N=\hat a^\dagger\hat a$ 与它们的对易关系是：
${\begin{cases} [\hat{N}, \hat{a}] = - \hat{a} \\ [\hat{N}, {\hat{a}}^{†}] = {\hat{a}}^{†} \end{cases}$
$\hat N$ $n$ $|n\rangle$ ，则
${\begin{cases} \hat{N} \hat{a} | n ⟩ = (n - 1) \hat{a} | n ⟩, \\ \hat{N} {\hat{a}}^{†} | n ⟩ = (n + 1) {\hat{a}}^{†} | n ⟩ \end{cases}$
理解为：
${\begin{cases} \hat{N} \hat{a} | n ⟩ = (n - 1) \hat{a} | n ⟩, \\ \hat{N} {\hat{a}}^{†} | n ⟩ = (n + 1) \hat{a^{†} | n ⟩} \end{cases}$
因此，
${\begin{cases} \hat{a} | n ⟩ \propto | n - 1 ⟩ \\ {\hat{a}}^{†} | n ⟩ \propto | n + 1 ⟩ \end{cases}$
归一化为：
${\begin{cases} | n ⟩ = \frac{{\hat{a}}^{† n}}{\sqrt{n!}} | 0 ⟩ \\ ⟨ n | = ⟨ 0 | \frac{{\hat{a}}^{n}}{\sqrt{n!}} \end{cases}$

$a_{\pm}$ 定义为：

a_{\pm} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (x \mp \frac{i}{m ω} p)

升降算符的详细推导：

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V = \frac{1}{2 m} [p^{2} + (m ω x)^{2}]

令：

A^{2} = \frac{m ω^{2}}{2}, B^{2} = \frac{1}{2 m}

$H=A^2 x^2+B^2 p^2$ $A,B$ 都是算符，所以有：

(A x + i B p) (A x - i B p) = H - i A B [x, p] = H + ℏ A B

$[Ax+iBp,Ax-iBp]$ $2\hbar AB$ .

$Ax\pm \mathrm iBp$ $H$ 的升降算符

\begin{matrix} [H, A x \pm i B p] \\ = [(A x + i B p) (A x - i B p) - ℏ A B, A x \pm i B p] \\ = [(A x + i B p) (A x - i B p), A x \pm i B p] \\ = (A x + i B p) [A x - i B p, A x \pm i B p] \\ + [A x + i B p, A x \pm i B p] (A x - i B p) \\ = \mp 2 ℏ A B (A x \pm i B p) \\ = \mp ω ℏ (A x \pm i B p) \end{matrix}

$Ax+iBp$ $-\omega \hbar$ $Ax-iBp$ $+\omega \hbar$ $a_{+},a_{-}$ ，它们是厄密的，并且共轭

$\psi_{n+1}=a_{+}\psi_n/A$ $A$ .

\begin{aligned} A^{2} & \equiv ⟨ ψ_{n} | a_{+}^{*} a_{+} | ψ_{n} ⟩ \\ = \int (a_{+} ψ_{n})^{*} (a_{+} ψ_{n}) d x = \int (a_{+}^{*} a_{+} ψ_{n})^{*} (ψ_{n}) d x \\ = \int (a_{-} a_{+} ψ_{n})^{*} (ψ_{n}) d x, \end{aligned}

$\omega \hbar a_{-}a_{+}=H+\omega\hbar/2$ （上面推导了）所以

a_{-} a_{+} ψ_{n} = H ψ_{n} / (ω ℏ) + ψ_{n} / 2 = (n + 1) ψ_{n}

A^{2} = (n + 1) \int ψ_{n}^{*} ψ_{n} d x = n + 1 A = \sqrt{n + 1} .

$\psi_{n+1}=a_{+}\psi_n/\sqrt{n+1}$ .

考虑到将位置算符和动量算符用升降算符表示：

a_{\pm} = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} (x \mp \frac{i}{m ω} p), α := \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}}

\hat{x} = \frac{\sqrt{2}}{α} (a_{+} + a_{-})

\hat{x} ψ_{n} = \frac{1}{α} \sqrt{\frac{n}{2}} ψ_{n - 1} + \frac{1}{α} \sqrt{\frac{n + 1}{2}} ψ_{n + 1}

\hat{p} ψ_{n} = - i ℏ α (\sqrt{\frac{n + 1}{2}} ψ_{n + 1} - \sqrt{\frac{n}{2}} ψ_{n - 1})

例题求一维谐振子的坐标、动量算符及哈密顿算符在能量表象中的矩阵表示。

$\hat x$ .
利用公式：
$x ψ_{n} = \frac{1}{α} \sqrt{\frac{n}{2}} ψ_{n - 1} + \frac{1}{α} \sqrt{\frac{n + 1}{2}} ψ_{n + 1}$
得：
$x_{m n} = \int ψ_{m}^{*} x ψ_{n} d x = \frac{1}{2} [\sqrt{\frac{n + 1}{2}} δ_{m, n + 1} + \sqrt{\frac{n}{2}} δ_{m, n - 1}]$

例题

求二维各向同性谐振子的薛定谔方程和能量本征值、能量本征函数。

[\frac{{\hat{p}}_{x}^{2} + {\hat{p}}_{y}^{2}}{2 m} + U (x, y)] ψ (x, y) = E ψ (x, y)

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} (x^{2} + y^{2})] ψ (x, y) = E ψ (x, y)

能量本征值：

E_{n} = (n + 1) ℏ ω g_{n} = n + 1

能量本征函数：

Ψ_{n} (x, y) = ψ_{n x} (x) ψ_{n y} (y) n = n_{x} + n_{y}

一维方势垒

$\displaystyle V(x)=\begin{cases}V_0, & 0<x<a\\0,&x<0,x>a\end{cases}$ .

$E$ ，问粒子穿透势垒或被反射的几率是多少？

$E>V_0$ $E<V_0$ , 则不可能穿过势垒
量子力学中由于实物粒子的波粒两象性，情况就完全不同，可用求解定态薛定谔方程来确定

$E<V_0$ ：
$\begin{aligned} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{2 m E}{ℏ^{2}} ψ = 0 x < 0, x > a \\ \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{2 m}{ℏ^{2}} (E - V_{0}) ψ = 0 0 < x < a \end{aligned}$
$\boxed{\displaystyle k^2=\frac{2mE}{\hbar^2},k'^2=\frac{2m(V_0-E)}{\hbar^2}}$ ，则：
$\begin{matrix} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + k^{2} ψ = 0 x < 0, x > a \\ \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} - k^{' 2} ψ = 0 0 < x < a \end{matrix}$
解为：
$\begin{matrix} x < 0 ψ_{1} = A e^{i k x} + A^{'} e^{- i k x} \\ 0 < x < a ψ_{2} = B e^{k^{'} x} + B^{'} e^{- k^{'} x} \\ x > a ψ_{3} = C e^{i k x} + C^{'} e^{- i k x} \end{matrix}$
- $e^{ikx}$ ：左到右，入射波或者透射波；
- $e^{-ikx}$ ：右到左，反射波。
$C'=0$ $>a$ 的部分没有反射波。
波函数及其导数的连续性条件：
- $x=0$ $A+A'=B+B'$ $ik(A-A')=k'(B-B')$ ；
- $x=a$ $Be^{k'a}+B'e^{-k'a}=Ce^{ika}$ ；
  $k'(Be^{k'a}-B'e^{-k'a})=ikCe^{ika}$ .
$T$ $R$ ，
$T = \frac{| C |^{2}}{| A |^{2}} = \frac{4 k^{2} k^{' 2}}{{(k^{2} + k^{' 2})}^{2} \sinh^{2} k^{'} a + 4 k^{2} k^{' 2}}$
$R = \frac{{| A^{'} |}^{2}}{| A |^{2}} = \frac{{(k^{2} + k^{' 2})}^{2} \sinh^{2} k^{'} a}{{(k^{2} + k^{' 2})}^{2} \sinh^{2} k^{'} a + 4 k^{2} k^{' 2}}$
显然
$T + R = 1$
$k^{\prime} a\gg 1$ $D\sim D_0 \exp \left[-\frac{2}{\hbar} \sqrt{2 m\left(V_0-E\right)} a\right]$ ，可得，
- 势垒越高, 宽度越宽, 穿透几率越小, 但总有一定几率穿透, 这一现象称为量子隧道效应
- $D$ 对势垒的宽度的变化很敏感
$E>V_0$ $k^{\prime} \rightarrow i k^{\prime}$

k^{' 2} = \frac{2 m}{ℏ^{2}} (E - V_{0})

可得透射系数和反射系数如下：

\begin{matrix} T = \frac{1}{1 + \frac{1}{4} \frac{V_{0}^{2}}{E (E - V_{0})} \sin^{2} k^{'} a} \\ R = \frac{{(k^{2} - k^{' 2})}^{2} \sin^{2} k^{'} a}{{(k^{2} - k^{' 2})}^{2} \sin^{2} k^{'} a + 4 k^{2} k^{' 2}} \\ T + R = 1 \end{matrix}

$k^{\prime} a=n \pi, \quad(n=1,2, \cdots)$ $\displaystyle k^{\prime}=\frac{2 \pi}{\lambda}$ $\displaystyle a=n \frac{\lambda}{2}$ $T=1$ ，即当势垒宽度为半波长整数倍时，发生 共振透射。这与光学中情况类似。

$E<V_0,T\not=0$ ，发生了隧道效应。

总结：一维方势垒
对于不同的区域，列出薛定谔方程，求出系数：
$k^{2} = \frac{2 m E_{i}}{ℏ}$
待定系数求解。最后的区域没有反射波，反射波系数为零。
通过波函数及其导数的连续性条件，可得系数满足的方程。
通过概率流密度公式：
$j = \frac{ℏ}{m} | A |^{2} k \propto | A |^{2} k$
求得透射系数和反射系数。
$R+T=1$ .

例题 $U(x)=\begin{cases}0,&x<0\\U_0,&x>0\end{cases}$ $0<E<U_0$ $e^{+ik_1x}$ $0.8e^{+ik_1x}$ $0.6e^{+ik_1x}$ 。其概率流密度分别为？透射系数为？反射系数为？

$A_1e^{ik_1x}$ 的概率流密度：
$j = \frac{ℏ k_{1}}{m} | A_{1} |^{2} = \frac{ℏ k_{1}}{m}$
$A_3e^{ik_1x}$ 的概率流密度
$j_{T} = 0.36 \frac{ℏ k_{1}}{m}$
$B_1e^{-ik_1x}$ 的概率流密度
$j_{R} = - 0.64 \frac{ℏ k_{1}}{m}$

透射系数定义为透射波的概率流密度除以入射波的概率波密度。
反射系数同理。

$0.36$ $0.64$ .

例题 $m$ $U(x)=\begin{cases}0,&x<0\\U_0,&x>0\end{cases}$ $E>U_0$ 时入射波、反射波和透射波的波函数分别为？概率守恒结果是？

$Ae^{+ik_1x}$ $Be^{-ik_1x}$ $Ce^{+ik_2x}$ ，其中

k_{1} = \sqrt{\frac{2 m E}{ℏ^{2}}} > 0 k_{2} = \sqrt{\frac{2 m (E - U_{0})}{ℏ^{2}}} > 0

$|A|^2=|B|^2+|C|^2$ .

习题

例题 22-4

$\lambda$ $\Delta \lambda$ 的光子，试估算：

$\Delta p$ ；
因为：
$p = \frac{h}{λ}$
可得：
$\frac{Δ p}{Δ λ} = - \frac{h}{λ^{2}}$ $Δ p = | - \frac{h}{λ^{2}} Δ λ | = \frac{h}{λ^{2}} Δ λ$
$\Delta x$ ；
由不确定度关系：
$Δ x Δ p \geq h \Rightarrow Δ x \geq \frac{h}{Δ p} = \frac{λ^{2}}{Δ λ}$
$\tau$ ；
$τ = Δ t = \frac{Δ x}{c} = \frac{λ^{2}}{c Δ λ}$
激发态的能量宽度：
$Δ E = \frac{h}{Δ t} = \frac{h c Δ λ}{λ^{2}}$

例题 22-5

$m$ 的粒子的最小能量（零点能）；

德布罗意波的驻波条件；
$2a,a,2a/3,\cdots$ ，为了使得能量最小，要让波长最短：
$p = \frac{h}{λ} = \frac{h}{2 a}, E = \frac{p^{2}}{2 m} = \frac{h^{2}}{8 m a^{2}}$
不确定度关系式；
$Δ x = a, Δ p = \frac{h}{Δ x} = \frac{h}{a}$ $E \approx \frac{Δ p^{2}}{2 m} = \frac{h^{2}}{2 m a^{2}}$

习题 22-1

$\displaystyle \frac{3}{2}kT$ ，求其德布罗意波长。

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}} = \frac{h}{\sqrt{3 m k T}}

习题 22-6

$1\times 10^{-2}\mathrm{~nm}$ $1\mathrm{~keV}$ ，计算电子能量的不确定度。

Δ p = \frac{h}{Δ x}

Δ t = \frac{Δ x}{v} = \frac{Δ x}{\sqrt{2 E / m}}

Δ E = \frac{h}{Δ t}

Δ E = \frac{h \sqrt{2 E / m}}{Δ x}

习题 22-10

$\Delta L\Delta \theta \ge h$ .

Δ p Δ x \geq h \Leftrightarrow R Δ p \frac{Δ x}{R} \geq h